Abstract

After giving a complete analytical solution for the strain softening model associated to Mohr-Coulomb non associated elasto-plastic flow rule (MC-model), the paper demonstrates that this rheology possesses a finite limit load which allows solving for strength drop as a boundary value problem. The MC-model produces a non-dimensional strength drop, which depends on three parameters: the orientation of the shear band versus the least principal stress axis outside the band α0, the peak friction angle φ and the dilatation angle Ψ. The maximum reduction of strength obtained with that strain-softening model is on the order of the confining stress p0. For this weakest regime, the effective friction of the shear band drops from μini = 0.85 at peak to μss = 0.64 at the end of the softening phase. In this model, which considers thick shear bands, the weakest regime is not obtained for an orientation corresponding to the exact Coulomb orientation. Instead, the orientation of the weakest shear zone systematically deviates from the coulomb orientation by an angle, which rises with its internal friction angle. The characteristic shear strain needed to achieve steady state is quantified semi analytically and in the range of parameters valid for Earth, this strain is found to be of the order of 7–8%. These numbers are typical of what is observed in the laboratory, which give us confidence on that MC-model is a good and probably the simplest model to localize strain in numerical codes aimed at modeling the brittle part of the Earth.

Abstract

Après avoir obtenu la solution analytique complète décrivant la courbe d’adoucissement du modèle élasto-plastique non associé de Mohr-Coulomb (modèle MC), cet article démontre que cette rhéologie aboutit après une phase d’adoucissement à un chargement critique fini ce qui permet de résoudre le problème de la chute de contrainte en l’abordant comme un problème ne dépendant que des conditions aux limites. Le modèle MC produit une chute de contrainte qui une fois adimensionnée, ne dépend que de trois paramètres: α0, l’orientation de la bande de cisaillement par rapport à la contrainte principale mineure en dehors de la bande ; φ, l’angle de friction interne au pic de résistance et Ψ l’angle de dilatation plastique de la bande. Lorsque la réduction de la résistance de la bande avec la déformation est maximum pour ce modèle, la chute de contrainte est du même ordre de grandeur que la pression de confinement p0. Dans ce régime le plus faible, la chute de friction effective de la bande de cisaillement s’effectue depuis une friction au pic de μini = 0.85 jusqu’à une friction résiduelle de μss = 0.64. Contrairement aux modèles ne prenant pas en compte l’épaisseur des bandes de cisaillement, la direction la plus faible ne correspond pas exactement à l’orientation de Coulomb. Elle en dévie systématiquement et cette déviation augmente avec l’angle de friction interne du matériau. Cet article apporte aussi une quantification semi-analytique de la quantité de déformation prédite par le modèle pour parfaire la phase d’adoucissement. Cette quantité de déformation s’avère être très faible, de l’ordre de 7–8% pour des pressions de confinement et des angles de friction caractéristiques de la croûte supérieure terrestre.

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